Vecteurs de l'espace

Coordonnées d'un vecteur de l'espace

On munit l'espace d'un repère $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k})$. Tout vecteur $\overrightarrow{u}$ de l'espace se décompose de façon unique :

On note alors $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, où $x$, $y$ et $z$ sont les coordonnées de $\overrightarrow{u}$.

> Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : si $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$, alors :
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## Opérations sur les vecteurs

Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs et $k \in \mathbb{R}$ un réel.

- Somme : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \\ z+z' \end{pmatrix}$
- Produit par un réel : $k\,\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{pmatrix}$

Exemple : si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, alors $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $3\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}$.

## Norme d'un vecteur

> Définition : la norme du vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ est le réel positif :
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Elle représente la longueur du vecteur, généralisant le théorème de Pythagore à l'espace.

Exemple : pour $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, on a $\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.

## Vecteurs colinéaires

> Définition : deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v} = k\,\overrightarrow{u}$.

Cela revient à dire que les coordonnées de $\overrightarrow{v}$ sont proportionnelles à celles de $\overrightarrow{u}$. Deux vecteurs colinéaires définissent la même direction dans l'espace.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$ sont colinéaires car $\overrightarrow{v} = -3\,\overrightarrow{u}$.

## Milieu d'un segment

> Propriété : si $I$ est le milieu de $[AB]$, avec $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$, alors :
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