Plans de l'espace

Vecteurs coplanaires

> Définition : trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires s'il existe des réels $a'$ et $b'$ tels que $\overrightarrow{w} = a'\,\overrightarrow{u} + b'\,\overrightarrow{v}$, lorsque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, $\overrightarrow{w}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ : les trois vecteurs, ramenés à une même origine, restent dans un même plan.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ sont coplanaires car $\overrightarrow{w} = 2\,\overrightarrow{u} + 3\,\overrightarrow{v}$.

## Représentation paramétrique d'un plan

Soit $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ un point et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$ deux vecteurs non colinéaires. Un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $s$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{u} + s\,\overrightarrow{v}$.

> Représentation paramétrique :
>

Exemple : le plan passant par $A(1\,;\,0\,;\,2)$ dirigé par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :

## Appartenance d'un point à un plan

Pour savoir si $M(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)$ appartient à $\mathcal{P}$, on résout le système des trois équations en cherchant un même couple $(t\,;\,s)$ vérifiant les trois équations simultanément.