Applications linéaires

Applications linéaires

1. Définition

Une application $f : E \to F$ (entre espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$) est linéaire si :

Conséquence immédiate : $f(0_E) = 0_F$ et $f(-u) = -f(u)$.

Vocabulaire :
- Application linéaire de $E$ dans $F$ = homomorphisme
- De $E$ dans $E$ = endomorphisme
- Bijective linéaire = isomorphisme
- Endomorphisme bijectif = automorphisme

2. Noyau et image

- Noyau : $\ker(f) = \{x\in E : f(x) = 0_F\}$ — c'est un sev de $E$.
- Image : $\text{Im}(f) = f(E) = \{f(x) : x\in E\}$ — c'est un sev de $F$.

Caractérisation de l'injectivité : $f$ est injective $\Leftrightarrow \ker(f) = \{0_E\}$.

3. Théorème du rang (ou théorème noyau-image)

Si $E$ est de dimension finie :

Corollaires :
- $f$ injective $\Rightarrow \dim E \leq \dim F$
- $f$ surjective $\Rightarrow \dim E \geq \dim F$
- $f$ bijective $\Leftrightarrow \dim E = \dim F$ et $f$ injective (ou surjective)

4. Matrice d'une application linéaire

Soit $\mathcal{B}_E = (e_1,\ldots,e_n)$ base de $E$ et $\mathcal{B}_F = (\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$ base de $F$. La matrice de $f$ dans ces bases est la matrice $M$ dont la $j$-ième colonne est le vecteur colonne de $f(e_j)$ dans $\mathcal{B}_F$ :

Si $X$ est la colonne des coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}_E$, alors les coordonnées de $f(x)$ dans $\mathcal{B}_F$ sont $MX$.

5. Composition et changement de base

- $(g \circ f)$ est représentée par $M_g \cdot M_f$ (produit matriciel).
- Changement de base : si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$, la matrice d'un endomorphisme $f$ dans $\mathcal{B}'$ est $P^{-1}MP$.

6. Exemple

$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = (x+y, x-y, 2x)$.

Dans les bases canoniques :

$\ker f$ : $(x+y,x-y,2x)=(0,0,0) \Rightarrow x=0, y=0$ → $\ker f = \{0\}$, $f$ injective.

$\dim(\text{Im}\,f) = 2-0 = 2$ (théorème du rang).