Calcul matriciel : addition, multiplication, transposition

Calcul matriciel : addition, multiplication, transposition

### 1. Définitions de base

Une matrice $A$ de taille $m \times n$ (à coefficients réels) est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes :

On note $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices $m \times n$. Si $m=n$, on parle de matrice carrée d'ordre $n$, et on note $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Cas particuliers : une matrice $n \times 1$ est un vecteur colonne, une matrice $1 \times n$ un vecteur ligne. La matrice nulle $0_{m,n}$ a tous ses coefficients égaux à $0$. La matrice identité $I_n$ est carrée d'ordre $n$, avec des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs : $(I_n)_{ij} = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker).

### 2. Addition de matrices et multiplication par un scalaire

Deux matrices ne peuvent s'additionner que si elles ont la même taille. Si $A, B \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, la somme $A+B$ est définie coefficient par coefficient :

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, la multiplication par un scalaire est $(\lambda A)_{ij} = \lambda \, a_{ij}$.

Propriétés (qui font de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ un espace vectoriel) : pour toutes matrices $A, B, C$ de même taille et tous scalaires $\lambda, \mu$ :
- $A + B = B + A$ (commutativité) ;
- $(A+B)+C = A+(B+C)$ (associativité) ;
- $A + 0_{m,n} = A$ ;
- $\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B$ et $(\lambda+\mu)A = \lambda A + \mu A$.

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Alors $A+B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$.

### 3. Produit matriciel

Le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$. Si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, alors $AB \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})$ avec :

Autrement dit, le coefficient $(i,j)$ de $AB$ s'obtient en faisant le produit scalaire de la $i$-ième ligne de $A$ avec la $j$-ième colonne de $B$.

Exemple résolu : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Propriétés du produit :
- Associativité : $(AB)C = A(BC)$ ;
- Distributivité : $A(B+C) = AB+AC$ et $(A+B)C = AC+BC$ ;
- Élément neutre : $A\, I_n = I_n\, A = A$ pour $A$ carrée d'ordre $n$ ;
- Non-commutativité : en général $AB \neq BA$, et l'un des deux produits peut même ne pas être défini si les tailles ne correspondent pas ;
- Présence de diviseurs de zéro : $AB = 0$ n'implique pas $A=0$ ou $B=0$. Exemple : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors qu'aucun des deux facteurs n'est nul.

### 4. Transposition

La transposée $A^T$ (ou $A^{\top}$) d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est la matrice de $\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ obtenue en échangeant lignes et colonnes : $(A^T)_{ij} = a_{ji}$.

Exemple : si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$, alors $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$.

Propriétés de la transposition :
- $(A^T)^T = A$ ;
- $(A+B)^T = A^T + B^T$ ;
- $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ ;
- $(AB)^T = B^T A^T$ (attention à l'inversion de l'ordre des facteurs) ;
- une matrice carrée $A$ est dite symétrique si $A^T = A$, et antisymétrique si $A^T = -A$ (dans ce cas, sa diagonale est nécessairement nulle).

Exemple résolu (preuve de $(AB)^T = B^TA^T$ via les coefficients) : Pour $A \in \mathcal{M}_{m,n}$, $B \in \mathcal{M}_{n,p}$ :

Les deux matrices ont donc les mêmes coefficients : $(AB)^T = B^TA^T$. $\square$

### 5. Puissances de matrices carrées

Pour $A$ carrée d'ordre $n$, on définit $A^0 = I_n$, $A^1 = A$, et $A^{k+1} = A^k \cdot A$ pour $k \geq 1$. Comme le produit matriciel est associatif, les règles usuelles s'appliquent : $A^k A^l = A^{k+l}$. Attention : en général $(AB)^k \neq A^k B^k$ si $AB \neq BA$, et $(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ sauf si $A$ et $B$ commutent.

### 6. Résumé méthodologique

| Opération | Condition de taille | Résultat |
|---|---|---|
| $A+B$ | même taille $m \times n$ | taille $m \times n$ |
| $\lambda A$ | aucune (toute matrice) | même taille que $A$ |
| $AB$ | colonnes de $A$ = lignes de $B$ | taille (lignes de $A$) $\times$ (colonnes de $B$) |
| $A^T$ | aucune | taille $n \times m$ si $A$ est $m \times n$ |