Espaces vectoriels et sous-espaces

Espaces vectoriels

1. Définition

Un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ est un ensemble $E$ muni de deux lois :
- Addition : $E \times E \to E$, $(u,v) \mapsto u+v$
- Multiplication scalaire : $\mathbb{R} \times E \to E$, $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$

vérifiant 8 axiomes : associativité, commutativité de l'addition, existence de l'élément neutre $0_E$, opposés, distributivité ($\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v$, $(\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u$), associativité de la multiplication scalaire, et $1\cdot u = u$.

Exemples fondamentaux : $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{R}[X]$ (polynômes), $\mathcal{C}([a,b])$ (fonctions continues), $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ (matrices).

2. Sous-espaces vectoriels

Un sous-ensemble $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel (sev) de $E$ si :
1. $0_E \in F$
2. $\forall u,v \in F$, $u+v \in F$ (stabilité par addition)
3. $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in F$, $\lambda u \in F$ (stabilité par multiplication scalaire)

Critère condensé : $F$ est un sev ssi $F \neq \emptyset$ et $\forall u,v\in F, \forall\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, $\lambda u + \mu v \in F$.

3. Combinaisons linéaires et famille génératrice

Un vecteur $v$ est une combinaison linéaire de $v_1,\ldots,v_p$ s'il existe $\lambda_1,\ldots,\lambda_p\in\mathbb{R}$ tels que $v = \sum_{i=1}^p \lambda_i v_i$.

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de $v_1,\ldots,v_p$ est le sous-espace engendré : $\text{Vect}(v_1,\ldots,v_p)$.

4. Indépendance linéaire

Les vecteurs $v_1,\ldots,v_p$ sont linéairement indépendants (libre) si :

Sinon, ils sont liés : l'un d'eux est combinaison linéaire des autres.

5. Base et dimension

Une base de $E$ est une famille libre et génératrice. Tout espace vectoriel de dimension finie $n$ admet des bases à $n$ vecteurs. $n$ est la dimension de $E$ (notée $\dim E$).

Exemples : $\dim \mathbb{R}^n = n$, $\dim \mathbb{R}_n[X] = n+1$, $\dim \mathcal{M}_{m,n} = mn$.

6. Somme et intersection de sous-espaces

- $F \cap G$ est toujours un sev de $E$.
- $F + G = \{u+v \mid u\in F, v\in G\}$ est le plus petit sev contenant $F$ et $G$.
- Formule de Grassmann : $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F\cap G)$
- Somme directe : $E = F \oplus G$ si $F+G=E$ et $F\cap G = \{0\}$.