Systèmes d'équations linéaires et méthode de Gauss

Systèmes d'équations linéaires

1. Définition

Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues est de la forme :

On note ce système $AX = B$ où $A = (a_{ij})$ est la matrice des coefficients, $X = (x_1,\ldots,x_n)^T$ le vecteur des inconnues et $B = (b_1,\ldots,b_m)^T$ le second membre.

2. Types de systèmes

- Système homogène : $B = 0$. Il admet toujours la solution nulle (solution triviale).
- Système compatible : il admet au moins une solution.
- Système incompatible : il n'admet aucune solution.

Un système est compatible si et seulement si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|B)$ (matrice augmentée).

3. Méthode de Gauss (élimination)

L'idée est de transformer le système en un système triangulaire équivalent par des opérations élémentaires sur les lignes :
- $L_i \leftarrow \lambda L_i$ ($\lambda \neq 0$) : multiplication d'une ligne par un scalaire
- $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ : ajout d'un multiple d'une ligne à une autre
- $L_i \leftrightarrow L_j$ : échange de deux lignes

Algorithme :
1. Choisir un pivot (premier coefficient non nul)
2. Éliminer cette variable dans toutes les autres équations
3. Répéter sur la sous-matrice réduite
4. Remonter (substitution arrière)

4. Exemple complet

Résoudre :

Matrice augmentée :

$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

$L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ :

Remontée : $z = 3/2$, puis $y = (7-3z)/(-3)$... On obtient la solution unique.

5. Discussion selon le rang

Notons $r = \text{rang}(A)$ et $n$ le nombre d'inconnues :
- $r < \text{rang}(A|B)$ : système incompatible (aucune solution)
- $r = \text{rang}(A|B) = n$ : solution unique
- $r = \text{rang}(A|B) < n$ : infinité de solutions ($\infty^{n-r}$ solutions, paramétrées par $n-r$ variables libres)