Équations différentielles du 1er ordre

Équations différentielles du 1er ordre

1. Généralités

Une équation différentielle (ED) du 1er ordre est de la forme $y'=f(x,y)$.

Solution sur $I$ : fonction dérivable $y:I\to\mathbb{R}$ vérifiant l'équation pour tout $x\in I$.

Problème de Cauchy : $\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}$.

Théorème de Cauchy-Lipschitz : si $f$ est continue en $x$ et lipschitzienne en $y$, le problème de Cauchy admet une unique solution locale.

2. Équations linéaires du 1er ordre

Solution homogène : $y_H = C e^{-P(x)}$ où $P(x)=\int p(x)dx$.

Variation de la constante : on pose $y=C(x)e^{-P(x)}$, on substitue et on intègre.

Formule de la solution générale :

3. Équations à variables séparables

On sépare : $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$, puis on intègre des deux côtés.

4. Exemples

Exemple 1 : $y' + 2y = e^x$, $y(0)=1$.

$P(x)=2x$. Solution générale : $y=e^{-2x}\left(C+\int e^x e^{2x}dx\right)=e^{-2x}(C+e^{3x}/3)=Ce^{-2x}+e^x/3$.

C.I. : $y(0)=C+1/3=1$, donc $C=2/3$.

$y(x) = \frac{2}{3}e^{-2x}+\frac{1}{3}e^x$.

Exemple 2 : $y' = y^2$, $y(0)=1$.

Séparable : $dy/y^2=dx$, $-1/y=x+C$, $y=-1/(x+C)$.

C.I. : $y(0)=1=-1/C$, $C=-1$. Solution : $y=1/(1-x)$ (définie sur $]-\infty,1[$).