Suites et séries de fonctions : convergence simple et uniforme

Suites et séries de fonctions : convergence simple et uniforme

### 1. Convergence simple

Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$. On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f : I \to \mathbb{R}$ si, pour chaque $x \in I$ fixé, la suite numérique $(f_n(x))_n$ converge vers $f(x)$ :

Le point clé : le rang $N$ peut dépendre à la fois de $\varepsilon$ et de $x$. C'est une convergence « point par point », qui ne contrôle pas la vitesse de convergence uniformément sur $I$.

Exemple classique : $f_n(x) = x^n$ sur $I=[0,1]$. Pour $x\in[0,1[$, $f_n(x)\to 0$. Pour $x=1$, $f_n(1)=1\to 1$. La suite converge simplement vers la fonction $f$ définie par $f(x)=0$ si $x<1$ et $f(1)=1$ : chaque $f_n$ est continue, mais la limite simple $f$ ne l'est pas — la convergence simple ne préserve pas la continuité.

### 2. Convergence uniforme

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si le rang $N$ peut être choisi indépendamment de $x$ :

De façon équivalente, en posant $\|f_n-f\|_\infty = \displaystyle\sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)|$ :

Méthode pratique : pour étudier la convergence uniforme, on calcule (ou on majore) $\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ et on regarde si cette quantité tend vers $0$.

La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse (cf. exemple $x^n$ ci-dessus, où la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$, alors qu'elle est simple).

Exemple résolu : $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2}$ sur $I=\mathbb{R}$. Convergence simple : pour $x$ fixé, $f_n(x) \to 0$. Convergence uniforme : on cherche $\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)|$. En dérivant, $f_n'(x) = \dfrac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}$ s'annule en $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt n}$, où $|f_n(x)| = \dfrac{1/\sqrt n}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt n}$. Donc $\|f_n-0\|_\infty = \dfrac{1}{2\sqrt n} \to 0$ : la convergence est uniforme sur $\mathbb{R}$.

### 3. Critère de Cauchy uniforme

$(f_n)$ converge uniformément sur $I$ (vers une certaine limite $f$) si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme :

Ce critère est très utile car il permet de prouver la convergence uniforme sans connaître explicitement la limite $f$ — exactement comme le critère de Cauchy pour les suites numériques.

### 4. Propriétés transmises par la convergence uniforme

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, et si chaque $f_n$ vérifie une certaine propriété, alors $f$ la vérifie aussi, dans les cas suivants :

- Continuité : si chaque $f_n$ est continue sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
- Limite et interversion : si $x_0$ est une extrémité de $I$ et que $\lim_{x\to x_0} f_n(x) = \ell_n$ existe pour chaque $n$, alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0} f_n(x)$ (les deux limites s'intervertissent).
- Intégration sur un segment : si chaque $f_n$ est continue sur $[a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f_n(x)\,dx \to \int_a^b f(x)\,dx$.
- Dérivation (plus délicat) : si $(f_n)$ converge simplement vers $f$, que chaque $f_n$ est $C^1$, et que $(f_n')$ converge uniformément vers une fonction $g$, alors $f$ est $C^1$ et $f'=g$.

Contre-exemple sans uniformité (continuité non préservée) : reprendre $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$ : la convergence est simple mais non uniforme, et la limite $f$ n'est pas continue en $1$. Ceci illustre que l'hypothèse d'uniformité est essentielle, pas une simple commodité technique.

### 5. Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale

Pour une série de fonctions $\displaystyle\sum_{n} u_n(x)$, on définit les sommes partielles $S_N(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^N u_n(x)$.

- Convergence simple de la série : pour chaque $x$, la suite numérique $(S_N(x))_N$ converge.
- Convergence uniforme de la série : la suite de fonctions $(S_N)$ converge uniformément vers la somme $S$.
- Convergence normale (critère le plus utilisé en pratique) : la série $\displaystyle\sum_n \|u_n\|_\infty$ converge (où $\|u_n\|_\infty = \sup_{x\in I}|u_n(x)|$).

Théorème : convergence normale $\Rightarrow$ convergence uniforme $\Rightarrow$ convergence simple. (Les implications réciproques sont fausses en général.)

Exemple résolu : $\displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{\sin(nx)}{n^2}$ sur $\mathbb{R}$. On a $\left|\dfrac{\sin(nx)}{n^2}\right| \leq \dfrac{1}{n^2}$ pour tout $x$, donc $\|u_n\|_\infty \leq \dfrac{1}{n^2}$. Comme $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann, exposant $2>1$), la série converge normalement, donc uniformément, donc simplement, sur $\mathbb{R}$. Par le théorème de continuité, sa somme est continue sur $\mathbb{R}$.

### 6. Résumé méthodologique

| Type de convergence | Définition clé | Implique |
|---|---|---|
| Simple | $N$ dépend de $x$ et $\varepsilon$ | — |
| Uniforme | $N$ ne dépend que de $\varepsilon$ ; $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ | convergence simple, continuité, intégration terme à terme |
| Normale (séries) | $\sum \|u_n\|_\infty$ converge | convergence uniforme |