Suites et séries numériques

Suites et séries numériques

1. Suites numériques

Une suite $(u_n)_{n\geq0}$ est une application $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$.

Convergence : $(u_n)$ converge vers $\ell$ si $\forall\varepsilon>0, \exists N, n\geq N\Rightarrow|u_n-\ell|<\varepsilon$.

Suites monotones bornées : toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.

Théorème des suites adjacentes : si $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $v_n-u_n\to0$, alors elles convergent vers la même limite.

2. Séries numériques

La série de terme général $a_n$ est $\sum_{n=0}^\infty a_n$. Sa somme partielle est $S_N=\sum_{n=0}^N a_n$.

La série converge si $(S_N)$ converge. Sa somme est $S=\lim_{N\to\infty}S_N$.

Condition nécessaire : si $\sum a_n$ converge, alors $a_n\to0$. La réciproque est fausse ($\sum 1/n$ diverge).

3. Séries de référence

- Série géométrique : $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$ si $|r|<1$, diverge si $|r|\geq1$.
- Série de Riemann : $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ converge si $\alpha>1$, diverge si $\alpha\leq1$.
- Série harmonique : $\sum 1/n$ diverge.

4. Critères de convergence

Critère de comparaison : $0\leq a_n\leq b_n$ et $\sum b_n$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge.

Critère des équivalents : si $a_n\sim b_n$ ($a_n/b_n\to1$), les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ ont même nature.

Critère de d'Alembert : si $|a_{n+1}/a_n|\to L$ :
- $L<1$ : convergence absolue
- $L>1$ : divergence
- $L=1$ : non concluant

Critère de Cauchy : si $|a_n|^{1/n}\to L$, même conclusion que d'Alembert.

5. Convergence absolue

$\sum a_n$ converge absolument si $\sum|a_n|$ converge. La convergence absolue implique la convergence.

Critère des séries alternées (Leibniz) : si $(|a_n|)$ est décroissante tendant vers $0$, alors $\sum(-1)^n a_n$ converge.