Intégrales généralisées

Intégrales généralisées (impropres)

1. Définitions

Intégrale en $+\infty$ : $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)\,dt$ (si la limite existe et est finie).

Intégrale avec singularité en $b$ : $\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b-\varepsilon} f(t)\,dt$.

2. Intégrales de référence

Intégrale de Gauss-Euler : $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

3. Critères de convergence

Critère de comparaison : si $0\leq f(t)\leq g(t)$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.

Critère des équivalents : si $f(t)\sim_{t\to+\infty} g(t)\geq0$, les intégrales ont même nature.

Convergence absolue : si $\int|f|$ converge, alors $\int f$ converge.

4. Règles de calcul

Intégration par parties : $\int_a^{+\infty}f'g = [fg]_a^{+\infty}-\int_a^{+\infty}fg'$.

Changement de variable : $\int_a^{+\infty}f(u(t))u'(t)\,dt$.

5. Exemples fondamentaux

avec $\Gamma(n)=(n-1)!$ pour $n\in\mathbb{N}^*$.

Formule de la fonction Gamma : $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$.