Différentiabilité et gradient

Différentiabilité et gradient

1. Dérivées partielles

Soit $f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_i$ en $a$ est :

Notation : $\partial_{x_i}f$, $f_{x_i}$, $D_i f$.

2. Différentiabilité

$f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ telle que :

$L$ est la différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$ ou $df(a)$.

Matrice jacobienne : $df_a$ est représentée par la matrice $\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{i,j}$.

3. Gradient

Pour $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, le gradient est :

La différentielle s'écrit $df_a(h)=\nabla f(a)\cdot h$ (produit scalaire).

Interprétation : $\nabla f(a)$ pointe dans la direction de la plus grande croissance de $f$ en $a$.

4. Règle de la chaîne

Si $g:I\to U\subset\mathbb{R}^n$ et $f:U\to\mathbb{R}$ avec $h=f\circ g$ :

Plus généralement : $(f\circ g)' = (df_{g(t)})\circ g'(t)$.

5. Dérivées d'ordre 2 — Matrice Hessienne

Théorème de Schwarz : si les dérivées partielles d'ordre $2$ sont continues, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$ (la matrice hessienne est symétrique).