Extrema et points critiques

Extrema des fonctions de plusieurs variables

1. Points critiques

Un point critique de $f$ est un point $a$ où $\nabla f(a)=0$.

Condition nécessaire d'extremum : Si $f$ admet un extremum local en $a$ et est différentiable, alors $\nabla f(a)=0$.

2. Classification par la hessienne (en 2D)

Soit $a$ un point critique de $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$. Posons $D=\det H_f(a)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$.

- $D>0$ et $f_{xx}(a)>0$ : minimum local
- $D>0$ et $f_{xx}(a)<0$ : maximum local
- $D<0$ : point selle (col)
- $D=0$ : cas douteux (test non concluant)

3. En dimension $n$

$a$ est minimum local si la hessienne est définie positive (toutes les valeurs propres $>0$).
$a$ est maximum local si la hessienne est définie négative (toutes les valeurs propres $<0$).

4. Extrema sous contraintes — multiplicateurs de Lagrange

Chercher les extrema de $f$ sous la contrainte $g(x)=0$ :

(les gradients sont colinéaires au point optimal). $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange.

Système : $\begin{cases}\nabla f = \lambda\nabla g \\ g(x)=0\end{cases}$.

5. Exemple résolu

Minimiser $f(x,y)=x^2+y^2$ sous $g(x,y)=x+y-1=0$.

$\nabla f=(2x,2y)=\lambda(1,1)=\lambda\nabla g$. Donc $x=y=\lambda/2$. Contrainte : $\lambda/2+\lambda/2=1$, $\lambda=1$, $x=y=1/2$.

Minimum : $f(1/2,1/2)=1/2$.