Séries de Fourier

Séries de Fourier

1. Fonctions périodiques et cadre général

Une fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ est $T$-périodique ($T>0$) si $f(x+T)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. On pose $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ la pulsation. On suppose $f$ continue par morceaux sur une période (intégrable au sens de Riemann), ce qui couvre tous les exemples usuels (créneau, dents de scie, triangle).

L'idée centrale des séries de Fourier est de décomposer $f$ comme une somme (éventuellement infinie) de sinusoïdes :

Pour simplifier les écritures, tout le cours est rédigé pour $T=2\pi$ (donc $\omega=1$) ; il suffit de remplacer $x$ par $\omega x = \dfrac{2\pi x}{T}$ pour revenir au cas général.

2. Coefficients de Fourier trigonométriques

Pour $f$ $2\pi$-périodique, continue par morceaux, on définit ses coefficients de Fourier par intégration sur une période complète (n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi,\pi]$ ou $[0,2\pi]$) :

Le terme $a_0$ vérifie $\dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$, c'est-à-dire la valeur moyenne de $f$ sur une période — d'où la convention d'écrire $a_0/2$ (et non $a_0$) dans la série, pour que la formule de $a_n$ reste valable en $n=0$.

La série de Fourier associée à $f$ est alors la série de fonctions :

3. Forme exponentielle complexe

En posant $c_n = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,e^{-inx}\,dx$ pour $n \in \mathbb{Z}$, la série de Fourier s'écrit de façon équivalente et souvent plus maniable :

Lien entre les deux formes (en développant $e^{\pm inx}=\cos(nx)\pm i\sin(nx)$) :

et réciproquement $a_n = c_n + c_{-n}$, $b_n = i(c_n - c_{-n})$. Si $f$ est à valeurs réelles, on a toujours $c_{-n}=\overline{c_n}$, ce qui garantit que $\sum c_n e^{inx}$ est bien réelle.

4. Parité et simplifications

Si $f$ est paire ($f(-x)=f(x)$), alors $x\mapsto f(x)\sin(nx)$ est impaire, donc $b_n=0$ pour tout $n$ : la série ne contient que des cosinus, et on peut calculer $a_n$ en intégrant seulement sur $[0,\pi]$ et en doublant :

Si $f$ est impaire ($f(-x)=-f(x)$), alors $x\mapsto f(x)\cos(nx)$ est impaire, donc $a_n=0$ pour tout $n$ (y compris $a_0=0$) : la série ne contient que des sinus, avec

Ces simplifications sont systématiquement exploitées dans les calculs ci-dessous.

5. Exemple résolu — fonction créneau

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique impaire définie sur $]-\pi,\pi[$ par $f(x)=1$ si $x\in\,]0,\pi[$ et $f(x)=-1$ si $x\in\,]-\pi,0[$ (et $f(0)=0$, valeur sans incidence sur l'intégrale).

$f$ étant impaire, $a_n=0$ pour tout $n$. Calculons $b_n$ :

Si $n$ est pair, $(-1)^n=1$ donc $b_n=0$. Si $n$ est impair, $(-1)^n=-1$ donc $b_n=\dfrac{4}{n\pi}$. En posant $n=2k+1$ :

(le symbole $\sim$ signifie ici « a pour série de Fourier » — la convergence précise est étudiée au paragraphe 7).

6. Exemples résolus — dents de scie et triangle

Dents de scie. Soit $g$ la fonction $2\pi$-périodique impaire définie par $g(x)=x$ sur $]-\pi,\pi[$. Comme $g$ est impaire, $a_n=0$. On calcule $b_n$ par intégration par parties, avec $u=x,\ dv=\sin(nx)dx$, donc $du=dx,\ v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}$ :

D'où $b_n = \dfrac{2}{\pi}\cdot\left(-\dfrac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$, et :

Triangle. Soit $h$ la fonction $2\pi$-périodique paire définie par $h(x)=|x|$ sur $[-\pi,\pi]$. Comme $h$ est paire, $b_n=0$. La valeur moyenne donne :

Pour $n\geq1$, intégration par parties avec $u=x,\ dv=\cos(nx)dx$, donc $v=\dfrac{\sin(nx)}{n}$ :

D'où $a_n = \dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{(-1)^n-1}{n^2}$. Si $n$ est pair, $a_n=0$ ; si $n$ est impair, $(-1)^n-1=-2$ donc $a_n = -\dfrac{4}{\pi n^2}$. Avec $n=2k+1$ :

7. Théorème de Dirichlet (convergence ponctuelle)

Théorème (Dirichlet) : Soit $f$ une fonction $2\pi$-périodique, de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[-\pi,\pi]$ (c'est-à-dire $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points, où $f$ et $f'$ admettent des limites à gauche et à droite finies). Alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$, la série de Fourier de $f$ converge et :

où $f(x^-)$ et $f(x^+)$ désignent les limites à gauche et à droite de $f$ en $x$. En particulier :
- en tout point $x$ où $f$ est continue, $f(x^-)=f(x^+)=f(x)$, et la série de Fourier converge vers $f(x)$ exactement ;
- en un point de discontinuité $x_0$, la série converge vers la demi-somme des limites $\dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}$ (le « milieu du saut »), et non vers $f(x_0)$ en général.

Application au créneau (§5) : au point $x=0$, $f$ est discontinue avec $f(0^-)=-1$ et $f(0^+)=1$. La série de Fourier vaut $0$ en $x=0$ (chaque $\sin(0)=0$), ce qui coïncide bien avec la demi-somme $\dfrac{-1+1}{2}=0$ — conforme au théorème, alors que $f(0)$ lui-même a été fixé arbitrairement à $0$ (et est en fait sans importance, car un point isolé ne change pas les intégrales).

Application classique — calcul de $\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$ : dans le créneau du §5, évaluons la série en $x=\dfrac{\pi}{2}$, point de continuité de $f$ (et $f(\pi/2)=1$) :

Comme $\sin\big((2k+1)\frac\pi2\big)$ vaut alternativement $1,-1,1,-1,\dots$, on obtient $1 = \dfrac{4}{\pi}\left(1-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac17+\cdots\right)$, soit la formule de Leibniz $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$.

8. Égalité de Parseval

Théorème (Parseval) : Si $f$ est $T$-périodique, continue par morceaux et de carré intégrable sur une période, alors :

Cette égalité exprime que l'énergie moyenne de $f$ sur une période est entièrement répartie entre ses harmoniques — c'est l'analogue, pour les séries de Fourier, du théorème de Pythagore dans l'espace des fonctions de carré intégrable muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T fg$.

Application — retrouver $\boldsymbol{\sum 1/n^2 = \pi^2/6}$. Reprenons le créneau $f$ du §5 ($T=2\pi$, $a_n=0$, $b_{2k+1}=\dfrac{4}{(2k+1)\pi}$, $b_{2k}=0$).

Membre de gauche : $f(x)^2=1$ pour tout $x$ (puisque $f$ vaut $\pm1$), donc $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \dfrac{1}{2\pi}\cdot 2\pi = 1$.

Membre de droite : $a_0=0$ donc $\dfrac{a_0^2}{4}=0$, et :

L'égalité de Parseval donne $1 = \dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}$, d'où :

Il reste à passer des entiers impairs à tous les entiers. En séparant la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ en termes impairs et pairs ($n=2p$) :

En notant $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$, cette relation s'écrit $S = \dfrac{\pi^2}{8}+\dfrac{S}{4}$, soit $\dfrac{3S}{4}=\dfrac{\pi^2}{8}$, donc :

C'est le célèbre problème de Bâle, résolu ici par une méthode purement analytique (sans les outils d'Euler d'origine).

9. Récapitulatif des formules essentielles

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