Intégrales doubles et triples

Intégrales multiples

1. Intégrale double

Théorème de Fubini : si $f$ est continue sur $D=[a,b]\times[c,d]$, on peut intégrer dans n'importe quel ordre.

Interprétation : volume sous le graphe de $f$ au-dessus du domaine $D$.

2. Changement de variables — coordonnées polaires

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $dA=r\,dr\,d\theta$.

3. Intégrale triple

Coordonnées cylindriques : $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$, $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$.

Coordonnées sphériques : $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$, $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

4. Théorème de changement de variables

Si $\Phi:U\to V$ est un difféomorphisme $\mathcal{C}^1$ :

où $|J_\Phi|$ est le jacobien (valeur absolue du déterminant jacobien).

5. Applications

- Aire : $\text{Aire}(D)=\iint_D dA$
- Volume : $V=\iiint_V dV$
- Centre de masse : $\bar{x}=\frac{1}{V}\iiint_V x\,dV$