Étude des fonctions inverse et racine carrée

Rappel des dérivées usuelles

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Étude de la fonction inverse

Pour $f(x)=\dfrac{1}{x}$, on a $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. Or $x^2>0$ pour tout $x\neq0$, donc :

Tableau de variations :

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Attention : $f$ est décroissante séparément sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$, mais elle n'est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles : par exemple $f(-1)=-1 < f(1)=1$, alors que $-1<1$.

Étude de la fonction racine carrée

Pour $f(x)=\sqrt{x}$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$, on a $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, défini seulement pour $x>0$. Comme $2\sqrt{x}>0$ pour $x>0$ :

Tableau de variations :

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Remarque : $f$ n'est pas dérivable en $0$ (la formule $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'est pas définie en $x=0$) : la courbe admet une tangente verticale à l'origine.

Exemple : étudier une fonction combinant les deux

Étudions $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

Sur $]0\,;\,+\infty[$, $x^2>0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Comme $x>0$, le facteur $(x+1)$ est toujours positif, donc le signe de $f'(x)$ dépend de $(x-1)$ :

- pour $0<x<1$ : $f'(x)<0$, $f$ décroît ;
- pour $x>1$ : $f'(x)>0$, $f$ croît.

$f$ admet donc un minimum en $x=1$ : $f(1) = 1+\dfrac{1}{1} = 2$.

À retenir

- La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ séparément (jamais sur la réunion).
- La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, mais non dérivable en $0$.
- Pour étudier une fonction combinant plusieurs fonctions usuelles, on calcule sa dérivée, on la met sous une forme dont le signe est lisible (souvent en réduisant au même dénominateur), puis on applique la méthode habituelle.