Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

- Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ (avec égalité seulement en des points isolés), alors $f$ est croissante sur $I$.

- Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ (avec égalité seulement en des points isolés), alors $f$ est décroissante sur $I$.

- Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Ce théorème permet d'étudier les variations d'une fonction sans tracer sa courbe : il suffit d'étudier le signe de $f'(x)$.

Méthode

1. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ (souvent en la factorisant, ou via un trinôme du second degré).
3. En déduire le sens de variation de $f$ grâce au théorème.

Exemple

Soit $f(x) = x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$. On dérive :

On étudie le signe de ce produit (racines $-1$ et $1$, coefficient $a=3>0$ pour le trinôme $x^2-1$) :

- $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\,-1[$ et sur $]1\,;\,+\infty[$ : $f$ y est croissante.
- $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;\,1[$ : $f$ y est décroissante.
- $f'(-1)=0$ et $f'(1)=0$.

Extremums locaux

Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ :

- un maximum local si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ ;

- un minimum local si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$.

Dans l'exemple précédent : en $x=-1$, $f'$ passe de $+$ à $-$, donc $f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$ est un maximum local. En $x=1$, $f'$ passe de $-$ à $+$, donc $f(1)=1-3=-2$ est un minimum local.