Construire un tableau de variations complet

Qu'est-ce qu'un tableau de variations ?

Un tableau de variations synthétise, sur l'ensemble de définition d'une fonction, le signe de la dérivée et le sens de variation associé (flèches montantes/descendantes), ainsi que les valeurs prises aux bornes et aux points où $f'$ s'annule.

Méthode complète (rappel et approfondissement)

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
2. Calculer $f'(x)$ et la factoriser si possible.
3. Résoudre $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$ sur tout l'ensemble de définition.
4. Construire le tableau : une ligne pour $x$, une ligne pour le signe de $f'(x)$, une ligne pour les variations de $f$ (avec flèches), en indiquant les valeurs de $f$ aux points clés.

Exemple détaillé

Étudions $f(x) = -x^3+3x+1$ sur $\mathbb{R}$.

Racines de $f'$ : $-1$ et $1$. Comme le coefficient devant $x^2$ dans $-3(x^2-1)$ est négatif, $f'(x) < 0$ à l'extérieur de $[-1\,;\,1]$ et $f'(x) > 0$ à l'intérieur.

$f(-1) = -(-1)^3+3(-1)+1 = 1-3+1=-1$
$f(1) = -1^3+3(1)+1 = -1+3+1=3$

Tableau de variations :

|---|---|---|---|---|---|---|---|

On lit directement : minimum local $-1$ en $x=-1$, maximum local $3$ en $x=1$.

Utiliser le tableau pour résoudre des problèmes

Un tableau de variations permet de répondre à des questions comme :
- « Combien de solutions a l'équation $f(x)=k$ ? » (en comparant $k$ aux valeurs extrêmes lues dans le tableau)
- « Quel est le maximum de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ? » (on regarde la plus grande valeur atteinte dans le tableau restreint à $[a\,;\,b]$)