Problèmes d'optimisation

Qu'est-ce qu'un problème d'optimisation ?

Un problème d'optimisation consiste à trouver la valeur d'une variable qui rend une quantité (aire, volume, coût, bénéfice...) maximale ou minimale, sous certaines contraintes.

Méthode générale

1. Choisir une variable $x$ et déterminer son intervalle de validité (les contraintes du problème, par exemple des longueurs positives).
2. Exprimer la quantité à optimiser en fonction de $x$ : on obtient une fonction $f(x)$.
3. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle pertinent (calcul de $f'$, signe, tableau de variations).
4. Conclure : lire dans le tableau la valeur de $x$ qui réalise l'extremum recherché, et calculer la valeur optimale de $f$.

Exemple

Une entreprise vend $x$ objets (avec $0 \leqslant x \leqslant 100$) et son bénéfice (en euros) est modélisé par :

On dérive : $B'(x) = -4x+80$.

$B'(x) = 0 \iff x=20$. Comme $B'$ est affine décroissante (coefficient $-4<0$) : $B'(x)>0$ pour $x<20$ et $B'(x)<0$ pour $x>20$.

$B(20) = -2(400)+1600-150 = -800+1600-150=650$.

Conclusion : le bénéfice est maximal pour $x=20$ objets vendus, avec un bénéfice maximal de $650$ €.

Points de vigilance

Toujours vérifier que la valeur trouvée pour $x$ appartient bien à l'intervalle imposé par le contexte (une longueur ne peut pas être négative, un nombre d'objets vendus est borné, etc.). Si l'extremum théorique de $f'$ tombe hors de l'intervalle autorisé, il faut comparer les valeurs de $f$ aux bornes de l'intervalle.