Échantillonnage et simulation

Qu'est-ce qu'un échantillon ?

Un échantillon de taille $n$ est obtenu en répétant $n$ fois la même expérience aléatoire (ou en observant $n$ individus tirés au hasard dans une population).

Exemple : lancer une pièce $50$ fois constitue un échantillon de taille $n=50$ de l'expérience « lancer une pièce ».

Fréquence observée et probabilité théorique

Pour un échantillon de taille $n$, la fréquence observée d'un événement $A$ est :

Remarque importante : la fréquence observée $f$ fluctue d'un échantillon à l'autre (on parle de fluctuation d'échantillonnage), mais lorsque $n$ devient grand, $f$ a tendance à se rapprocher de la probabilité théorique $p$ de l'événement.

Simuler une expérience aléatoire

Simuler une expérience consiste à reproduire son hasard, par exemple avec un générateur de nombres aléatoires (calculatrice, ordinateur), pour obtenir rapidement un grand nombre de répétitions sans avoir à réaliser l'expérience physiquement.

📌 Méthode : pour simuler $n$ lancers d'une pièce équilibrée, on peut tirer $n$ nombres aléatoires entre $0$ et $1$ : on décide par exemple que « pile » correspond à un nombre $< 0{,}5$ et « face » à un nombre $\geqslant 0{,}5$.

Comparer plusieurs échantillons et prendre une décision

Quand on observe plusieurs échantillons de même taille $n$ pour la même expérience, les fréquences observées varient légèrement les unes des autres : c'est normal, c'est la fluctuation d'échantillonnage. Mais si une fréquence observée est très éloignée de la probabilité théorique attendue, cela peut amener à douter d'une hypothèse (par exemple douter qu'une pièce soit bien équilibrée).

Règle de bon sens : plus la taille de l'échantillon $n$ est grande, plus on peut faire confiance à la fréquence observée comme estimation de la probabilité théorique, et plus un écart important entre les deux devient suspect.

Exemples

✅ Exemple simple — Lire un résultat de simulation

On simule $100$ lancers d'un dé à 6 faces et on obtient $19$ fois le résultat « $6$ ». La fréquence observée est $f = \dfrac{19}{100} = 0{,}19$, à comparer à la probabilité théorique $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ : les deux valeurs sont proches, ce qui est cohérent avec un dé équilibré.

📘 Exemple intermédiaire — Comparer deux tailles d'échantillon

On lance une pièce $20$ fois et on obtient $14$ fois « pile » ($f=0{,}7$) ; un camarade lance la même pièce $500$ fois et obtient $260$ fois « pile » ($f=0{,}52$). Le second échantillon, beaucoup plus grand, donne une fréquence beaucoup plus proche de $p=0{,}5$ : il est plus fiable pour juger si la pièce est équilibrée.

🔴 Exemple avancé — Prendre une décision

Un fabricant affirme qu'une urne contient $50\%$ de boules rouges. On simule $200$ tirages avec remise et on observe $124$ boules rouges, soit $f = \dfrac{124}{200} = 0{,}62$. Cet écart avec $p=0{,}5$ est important pour un échantillon de cette taille : on peut raisonnablement douter de l'affirmation du fabricant et suggérer de refaire l'expérience ou d'examiner la composition réelle de l'urne.

À retenir

- Un échantillon de taille $n$ est obtenu par $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience aléatoire.
- La fréquence observée $f$ fluctue d'un échantillon à l'autre, mais se rapproche de la probabilité théorique $p$ quand $n$ augmente.
- Simuler permet d'estimer rapidement une fréquence sans réaliser l'expérience un grand nombre de fois en pratique.
- Un grand écart entre $f$ et $p$, surtout pour un grand $n$, peut amener à remettre en question une hypothèse de départ.