Colinéarité de vecteurs et translations

La translation

Translater un point $M$ par un vecteur $\overrightarrow{u}$, c'est construire le point $M'$ tel que :

On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.

Propriété : une translation conserve les distances, les alignements et les angles : l'image d'une figure par translation est une figure superposable à la figure de départ, simplement « glissée ».

Exemple : si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $M(1\ ;\ 4)$, l'image $M'$ de $M$ vérifie $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}$, donc $M'(1+3\ ;\ 4-2) = M'(4\ ;\ 2)$.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (non nuls) sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction, c'est-à-dire lorsqu'il existe un réel $k$ tel que :

Critère de colinéarité en coordonnées

Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors :

La quantité $xy'-x'y$ s'appelle le déterminant des deux vecteurs.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $xy'-x'y = 2\times6-4\times3 = 12-12=0$, donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires (en effet $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}$).

Applications de la colinéarité

- Alignement de points : $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- Parallélisme de droites : $(AB) \parallel (CD) \iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : pour montrer que $A(1\ ;\ 1)$, $B(3\ ;\ 5)$ et $C(4\ ;\ 7)$ sont alignés, on calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $2\times6-3\times4 = 12-12=0$, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, et $A$, $B$, $C$ sont alignés.

À retenir

- Translater $M$ par $\overrightarrow{u}$ donne $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}$ ; une translation conserve distances et alignements.
- $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires $\iff xy'-x'y=0$.
- La colinéarité permet de démontrer un alignement de points ou un parallélisme de droites sans tracer la figure.