Équation d'une droite

Équation réduite

Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme :

appelée équation réduite de la droite : $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. On retrouve ici la fonction affine associée $f(x)=mx+p$.

Cas particulier : une droite parallèle à l'axe des ordonnées (donc « verticale ») n'est pas le graphe d'une fonction ; son équation est de la forme $x=c$ (avec $c$ constant), et elle n'a pas de coefficient directeur.

Équation cartésienne

Une droite peut aussi s'écrire sous forme cartésienne :

Un vecteur directeur de cette droite est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ : ce vecteur indique la direction de la droite, et tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u}$ en est aussi un vecteur directeur.

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Si une droite passe par $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ avec $x_A \neq x_B$, on procède en deux étapes :

Méthode

1. Calculer le coefficient directeur : $m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

2. Utiliser les coordonnées d'un point connu (par exemple $A$) dans $y=mx+p$ pour trouver $p$.

Exemple : droite passant par $A(1\ ;\ 3)$ et $B(4\ ;\ 9)$. On calcule $m = \dfrac{9-3}{4-1} = \dfrac{6}{3}=2$. Avec $A$ : $3 = 2\times1+p \implies p=1$. L'équation réduite est $y=2x+1$.

Droites parallèles

Pour deux droites données par leur équation réduite, cela revient simplement à comparer leurs coefficients directeurs :

Exemple : $y=3x-2$ et $y=3x+5$ sont parallèles (même coefficient directeur $m=3$), alors que $y=3x-2$ et $y=4x-2$ ne le sont pas.

À retenir

- Équation réduite : $y=mx+p$ (sauf droites verticales, d'équation $x=c$).
- Équation cartésienne : $ax+by+c=0$, de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.
- Pour deux points connus, on calcule $m$ avec le taux de variation, puis $p$ en substituant.
- Deux droites (non verticales) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur $m$.