Notion de vecteur et coordonnées

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par trois caractéristiques :
- une direction (celle de la droite $(AB)$) ;
- un sens (de $A$ vers $B$) ;
- une longueur (la distance $AB$), appelée norme, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.

Vecteurs égaux : deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, même s'ils ne sont pas situés au même endroit du plan.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère $(O\ ;\ I\ ;\ J)$, si $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :

Exemple : $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$ donnent $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Norme d'un vecteur

Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors :

Exemple : pour $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, on a $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Vecteurs égaux et coordonnées

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.