Somme de vecteurs et relation de Chasles

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ se calcule coordonnée par coordonnée :

La relation de Chasles

Pour trois points quelconques $A$, $B$, $C$ du plan :

Astuce mnémotechnique : les lettres "du milieu" ($B$ et $B$) s'annulent comme si on simplifiait une écriture.

Cette relation permet de décomposer un vecteur en une somme d'autres vecteurs, ou de simplifier une somme de vecteurs.

Exemple : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ (on applique deux fois la relation de Chasles).

Vecteur opposé

Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. En coordonnées, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors $-\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$.

Conséquence utile : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ (vecteur nul).

Caractérisation du parallélogramme

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.