Milieu et distance dans un repère

Coordonnées du milieu d'un segment

Si $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$, les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont :

Exemple : pour $A(1\ ;\ 3)$ et $B(5\ ;\ 7)$, le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{1+5}{2}\ ;\ \dfrac{3+7}{2}\right) = I(3\ ;\ 5)$.

Distance entre deux points

La distance $AB$ se calcule à partir des coordonnées de $A$ et $B$ grâce au théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections sur les axes :

Exemple : pour $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$ :

Lien avec les vecteurs : la distance $AB$ est exactement la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$.

Application : nature d'un triangle

On peut utiliser les formules de distance pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle, puis utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour déterminer s'il est rectangle, ou comparer les longueurs pour voir s'il est isocèle ou équilatéral.